平行两组比较样本量

定义与适用范围

最常见的一类设计：受试者按 1:φ 随机分配到标准组 S 与试验组 T，比较单一结局。所有公式共享同一骨架——把「效应/标准差」塞进正态近似式，再乘分配比因子 (1+φ)²/φ：

N_total = [(1+φ)²/φ] × (z_{1−α/2} + z_{1−β})² / (δ_Plan/σ_Plan)²      (等分配 φ=1 时因子=4)

第 1 章式 (1.7) 给出最简形态 N = 4(z_{1−α}+z_{1−β})²/Δ²（单侧 z、等分配、连续结局）¹；第 5 章式 (5.4) 补上小样本的非中心 t 修正项 +z²_{1−α/2}/2²。此后各章只是换「效应」与「方差」的表达：比例差、log OR、log HR、率差、位置移动、AUC 差。

证据与解释

二分类结局（第 3 章）

χ² 框架（式 3.2）：N = ((1+φ)/φ)·[z√((1+φ)π̄(1−π̄)) + z√(φπ_S(1−π_S)+π_T(1−π_T))]²/δ_Plan²，其中 π̄ = (π_S+φπ_T)/(1+φ)（式 3.3）³。
OR 尺度（式 3.4）：N_OR = ((1+φ)²/φ)·(z+z)²/[(log OR_Plan)²·π̄(1−π̄)]。先由 π_T = OR·π_S/(1−π_S+OR·π_S)（式 3.1）把 OR 换成比例³。
精确检验框架（式 3.5）：先用式 (3.2)/(3.4) 得 n_S，再膨胀 n_S^Exact = n_S/4·[1+√(1+2(1+φ)/(φ·n_S·|δ_Plan|))]²³。
已知一个比例（式 3.6）：N = [z√(π_Known(1−π_Known)) + z√(π_T(1−π_T))]²/δ²，单组即可³。

交叉核对（本次实算）：式 (3.5) 在等分配 φ=1 时退化为 n/4·[1+√(1+4/(n|δ|))]²，与诊断准确性样本量中 Akoglu 施加的 Yates 连续性校正公式完全相同；用 n=300.88、|δ|=0.05 代入两者都得 339.7。可见「精确检验膨胀」与「Yates 校正」在等分配下是同一件事，只是本书按分析检验（Fisher）命名、Akoglu 按校正来源（Beam）命名。

有序分类结局（第 4 章）

结局为 κ 个有序类别时，用比例优势（proportional odds）模型，效应量取单一 log OR，样本量为 N = Γ · ((1+φ)²/φ) · (z+z)²/(log OR)²（式 4.3），其中 Γ = 3/(1−Σπ̄ᵢ³)（式 4.4）⁴。
Γ 是关键：κ=2 时 Γ = 1/(π̄(1−π̄))，式 (4.3) 立刻退回二分类式 (3.4)——即第 3 章是第 4 章的特例；Γ 的最大值为 4（π̄=0.5 时），类别越均匀、类别数越多，Γ 越小、越省样本⁴。
若不能假定比例优势（NPO），则各切点 OR 不同，需另用第 4 章的 NPO 方法（式 4.8 一带）。
另一条路线是 Mann-Whitney U 框架，用 P = Pr(Y_T > Y_S) 作效应量。

连续型结局（第 5 章）

双样本 t（式 5.4）：N = [(1+φ)²/φ]·(z+z)²/(δ_Plan/σ_Plan)² + z²_{1−α/2}/2²。
分配比的经济性（式 5.5）：N_Unequal = (1+φ)²/(4φ) × N_Equal。φ=1 时因子为 1；φ 偏离 1 越远，总样本量越大（1:2 时约 1.125 倍）²。
每组方差不等（式 5.6，Satterthwaite 修正）：设 τ=σ_T²/σ_S²，N_Satt = ((1+φ)/φ){[(τ+φ)σ²/δ²](z+z)² + (τ²+φ³)z²/(2(τ+φ)²)}——方差不等时必须用 τ 重算，不能直接套等方差式²。
Wilcoxon-Mann-Whitney（式 5.7）：在 t 公式上乘效率因子 f。正态假设下 f = π/3 = 1.0472（式 5.8）——即非参数检验要多 4.7% 的样本²。
无 ties 的简化式（式 5.9）：N = (1+φ)²(z+z)²/[12φ(P−0.5)²]，直接用 P = Pr(Y_T > Y_S) 表达位置移动²。
与已知均值比较：单样本 t（式 5.10/5.11 一带）。

模型推断（本页）：书中「最优分配」一节讨论的是 φ 的选取（式 5.5 给出偏离 1:1 的代价），而不是「按标准差比例分配」。后者（Neyman 分配）在本章未见明确表述，本页不当作本书结论。

率结局（第 6 章）

泊松（式 6.2）：以「每人单位（PU）」计总暴露量 PU = ((1+φ)/φ)(z+z)²(λ_T+φλ_S)/(λ_T−λ_S)²，再除以随访时长换算成人数⁵。
负二项（过度离散）（式 6.4/6.5）：N = (1+φ)·V·(z+z)²/[log(λ_T/λ_S)]²，其中 V = (1/τ)(1/λ_S + 1/(φλ_T)) + κ(1+φ)/φ——κ 是过度离散参数，必须预先指定⁵。
上市后监测：单组（无对照、已知背景发生率）、比较性研究、匹配病例对照、多种独立反应各有专门式子（式 6.6–6.12）⁵。

多组、剂量-反应、与参照组比较、析因（第 14 章，另见第 2 章）

无结构多组：先按「最强对比」做两组计算，再按组数放大。
剂量-反应：用线性趋势检验，D = Σ(dᵢ−d̄)²（式 14.3）刻画剂量间距，等间距时最省样本⁶。
与参照组多次比较（Dunnett 型）：先用最小有意义差异 δ_Min 算两组所需 N₂（式 14.7），总样本量 N_Total = N₂·√(g−1)（式 14.11）——不是简单相加，√(g−1) 就是多重比较的代价⁶。
析因设计：2×2 等设计可同时回答两个问题，样本量按「最保守的那个对比」定（式 14.x，第 2 章给出框架）⁶⁷。

多重性与多结局（第 2 章）

多个结局或多个比较时，先排序（主/次/探索），或施加 Bonferroni 校正（α/m）；重复显著性检验会显著抬高假阳性，必须在设计阶段就决定校正策略⁷。
协变量、组别结构（有序组、回归模型）、流行病学研究设计在第 2 章另有框架；第 2 章还给出一组「方案与发表中如何论证样本量」的实例，以及样本量与伦理的关系⁷。

例子与推断

模型推断（本页）：Γ 与 f 这两个「惩罚因子」值得记住它们的来源：Γ 惩罚的是分类信息被压成二分类时的浪费（把有序结局二分化，等价于把 Γ 从 <4 抬回 4），f 惩罚的是放弃正态假设改用秩检验（+4.7%）。两者都是「分析选择」而非「数据」决定的，因此都可以在规划阶段主动规避。

模型推断（本页）：式 (14.11) 的 √(g−1) 放大只在「所有剂量组都与同一参照组比较」时成立；若是「剂量组两两互比」，代价应按比较数而非 √(g−1) 计算。原书此处的推导细节本库未逐行核对，属待核实。

分歧、限制与待核实

争议点	来源	各自说法和范围	当前判断	下一步核实
二分类该用 χ² 还是精确检验	本书式 (3.2) vs 式 (3.5)	同一设计两套公式，精确检验版样本量更大	不是冲突，是分析计划不同；须与分析方案一致	需确认书中对「何时必须用精确检验」的建议原文
Yates/精确膨胀是否该用	本书式 (3.5) / 诊断两篇文献	本书按 Fisher 精确检验命名；Akoglu 按 Beam 的 Yates 建议施加；Hajian-Tilaki 未施加	等分配下公式相同；是否施加仍属惯例分歧（详见诊断页分歧表）	核对 Beam 1992 原文
Wilcoxon 的效率因子	本书式 (5.8)	正态假设下 f=π/3=1.0472	采纳（有明确推导）	非正态分布下 f 的取值需查原书表

限制：本书全部公式建立在正态近似上，小样本或极端比例（接近 0/1）时需用精确方法；第 3 章明确提示「某一比例接近 0 或 1 时需注意困难」³。

参考文献

Machin D, Campbell MJ, Tan SB, Tan SH. Sample Sizes for Clinical, Laboratory and Epidemiology Studies. 4th ed. Wiley-Blackwell; 2018. DOI: 10.1002/9781118874905. ISBN 9781118874943 / 9781118874905. 依据章节：第 1 章「基本设计考量」（式 1.7、1.8–1.10）。 ↩︎
同上，第 5 章「连续型结局」（式 5.4、5.7、5.8、5.9）。 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎
同上，第 3 章「二元结局」（式 3.1–3.6）。 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎
同上，第 4 章「有序分类结局」（式 4.3、4.4、4.6）。 ↩︎ ↩︎
同上，第 6 章「率结局」（式 6.2、6.4、6.5、6.9）。 ↩︎ ↩︎ ↩︎
同上，第 14 章「多组设计」（式 14.3、14.7、14.11）。 ↩︎ ↩︎ ↩︎
同上，第 2 章「进一步设计考虑」（多重性、协变量、多结局、方案论证）。 ↩︎ ↩︎ ↩︎

Settings

平行两组比较样本量（二分类、有序分类、连续、率结局）